Nonlinear Subelliptic Boundary-Value Problems -- What is different with non-degenerate cases

主讲人：陈化 武汉大学教授

时间：2023年11月3日16：30

地点：三号楼332室

举办单位：数理学院

主讲人介绍：陈化，武汉大学数学与统计学院二级教授。研究方向为偏微分方程的微局部分析理论，在退化型偏微分方程、退化椭圆算子的谱以及生物数学模型的研究等方面取得了一系列重要的研究成果。陈化至今已主持国家自然科学基金项目26项，其中包括国家杰出青年基金和国家海外杰出青年合作基金，八五国家重点项目、九五国家重点项目、十一五国家重点项目主要成员，并在近十年来连续主持十二五国家重点项目（2012-2016）、十三五国家重点项目（2017-2021）、十四五国家重点项目（2022-2026）以及国家基金委天元基金交叉平台项目（2017），还为国家重大项目973核心数学项目组成员（2001-2006）以及国家重点研发计划重点专项项目组成员（2022-2027），并获教育部跨世纪优秀人才基金。2022年陈化所在的武汉大学偏微分方程研究团队荣获国家基金委创新团队。陈化至今在国内外一流SCI数学杂志上发表论文120多篇，编辑书籍3本，并参与在1992年和1999年两次获教育部科技进步二等奖。2017年陈化主持的项目获教育部自然科学奖一等奖。陈化曾任武大数学与统计学院院长、国务院数学学科评议组第六届和第七届成员、教育部科技委第三届委员会委员。陈化现为武汉大学数学协同创新中心主任、湖北省数学会理事长。

内容介绍：Let us consider the multiple solutions (or multiple sign changing soulutions ) for the following semilinear subelliptic Dirichlet problem \[ \left\{ \begin{array}{cc} -\triangle_{X} u=f(x,u)+g(x,u) & \mbox{in}~\Omega, \\[2mm] u=0\hfill & \mbox{on}~\partial\Omega, \end{array} \right. \] where $\triangle_{X}=-\sum_{i=1}^{m}X_{i}^{*}X_{i}$ is the self-adjoint H\{o}rmander operator associated with vector fields $X=(X_{1},X_{2},\ldots,X_{m})$ satisfying the H\{o}rmander condition, $f(x,u)\in C(\overline{\Omega}\times \mathbb{R})$, $g(x,u)$ is a Carath\'{e}odory function on $\Omega\times \mathbb{R}$, and $\Omega$ is an open bounded domain in $\mathbb{R}^n$ with smooth boundary. Combining the perturbation from symmetry method with the approaches involving eigenvalue estimate, Morse index in estimating the min-max values and degenerate Cwikel-Lieb-Rozenblum type inequality, and modified method for invariant sets, we obtain two kinds of existence results for multiple weak solutions to the problem above. Furthermore, we discuss the difference between the eigenvalue estimate approach and the Morse index approach in degenerate situations. Compared with the classical elliptic cases, both approaches here have their own strengths in the degenerate cases. This new phenomenon implies the results in general degenerate cases would be quite different from the situations in classical elliptic cases.