关于贺兵猜测的一个超同余式的进一步推广

主讲人：郭军伟 淮阴师范学院教授

时间：2023年12月22日14：30

地点：三号楼332室

举办单位：数理学院

主讲人介绍：淮阴师范学院教授，翔宇学者。获南开大学博士学位，法国里昂第一大学博士后。曾任华东师范大学数学系教授，博士生导师。主要从事组合数学，q-级数和数论的研究。先后主持三项国家自然科学基金，以及上海市教育发展基金会晨光计划，上海市科委青年科技启明星计划，江苏省自然科学基金等项目，并入选江苏省教育厅“青蓝工程”中青年学术带头人等。 2019年他利用单位根来证明q-同余式的新方法处理了众多q-同余式问题，是q-同余式方向的一个重要突破，其研究成果已被国际著名期刊《Advances in  Mathematics》发表，迄今已在国际数学刊物上发表了一百四十余篇。

内容介绍：In 2017, Bing He conjectured that, for $p \equiv 3 \pmod 4$, $$\sum_{k=0}^{p-1}(6k+1)\frac{(\frac{1}{2})_k^3(\frac{1}{4})_k}{k!^4 4^k} \equiv 0\pmod{p^4}.$$ He himself proved the modulus p^2 case, and later Ji-Cai Liu proved the conjecture is true modulo p^3. This conjecture was finally confirm by Chuanan Wei in 2022 by establishing the following q-supercongruence: for $ n\equiv 3\pmod{4}$, $$ \sum_{k=0}^{n-1}[6k+1] \frac{(q;q^{2})_{k}^3 (q;q^4)_{k}}{(q^2;q^2)_k(q^4;q^4)_{k}^{3}} q^{k^{2}+k} \equiv 0 \pmod{[n]\Phi_{n}(q)^3}. $$ In this talk, we shall give the q-supercongruence: for any positive integer $n\equiv 3\pmod{4}$ and non-negative integer s be a non-negative integer $s\leqslant (n-1)/6$, $$\sum_{k=s}^{n-s-1}[6k+1] \frac{(q;q^2)_{k-2s}(q;q^2)_{k+2s}(q;q^2)_{k}(q;q^4)_{k} } {(q^2;q^2)_k (q^4;q^4)_{k-s}(q^4;q^4)_{k+s} (q^4;q^4)_{k}} q^{k^2+k} \equiv 0\pmod{\Phi_n(q)^4},$$ which is a generalization of Wei's result in the modulus $\Phi_n(q)$ case. Here the $q$-shifted factorial is defined as $$ (a;q)_n=\begin{cases}(1-a)(1-aq)\cdots (1-aq^{n-1}),&\text{if $n=1,2,\ldots,$} 1, &\text{if $n=0$,}\\ \dfrac{1}{(1-aq^{-1})(1-aq^{-2})\cdots (1-aq^n)}, &\text{if $n=-1,-2,\ldots,$} \end{cases} $$ the q-integer is defined by [n]=(1-q^n)/(1-q), and \Phi_n(q) stands for the n-th cyclotomic polynomial.